Définition : Forme linéaire
Soit E un espace vectoriel sur K (
ou 
). Une forme linéaire sur E est une application linéaire de E dans K, K étant considéré comme un espace vectoriel sur lui-même.
Dans toute cette ressource, le corps de base K des espaces vectoriels considérés est soit le corps des nombres réels soit le corps des nombres complexes.
Il s'agit ici d'une première ressource sur le sujet. Son objectif est de pouvoir être utilisée dans différents contextes.
C'est pourquoi ne sont traitées ici que les propriétés générales et techniques, en particulier dans le cas d'espace vectoriel de type fini. Les propriétés les plus abstraites ne sont donc pas traitées dans cette ressource.
Prérequis indispensables :
Le vocabulaire de base de l'algèbre linéaire et la notion d'espace de type fini (ou dimension finie).
Le calcul matriciel et les formules de changement de base.
Objectifs :
Reconnaître une forme bilinéaire, une forme bilinéaire symétrique, une forme quadratique.
Savoir passer de l'une à l'autre en particulier dans le cas des espaces de type fini.
Savoir écrire la matrice associée à une forme bilinéaire symétrique ou à une forme quadratique dans une base.
Temps de travail prévu : 60 minutes
Pas de prérequis concernant la dualité.
Sommaire :
Dans cette ressource il va être question de formes linéaires, de formes bilinéaires, de formes bilinéaires symétriques, de formes quadratiques. Leurs définitions et propriétés générales vont être développées, ainsi que les liens qui existent entre elles.
Une remarque préliminaire peut être faite : leurs noms comportent tous le mot « forme ». Cela correspond à une propriété qui leur est commune.
Ce sont toutes des applications dont l'espace d'arrivée est K, corps de base des espaces vectoriels qui interviendront.
Dans toute cette ressource le corps de base K des espaces vectoriels considérés est soit le corps des nombres réels soit le corps des nombres complexes.
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Définition : Forme linéaire Soit E un espace vectoriel sur K ( |
On suppose que E est de dimension p. Soit 
une base de E.
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Caractérisation d'une forme linéaire Soient E un espace vectoriel de dimension p et Une application de E dans K est une forme linéaire sur E si et seulement si il existe p scalaires |
Remarque : l'expression |
Ce résultat pourra être rapproché d'une caractérisation des formes quadratiques sur un espace de type fini.
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Définition : forme bilinéaire Soient E et F deux espaces vectoriels sur K ( Une forme bilinéaire sur
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Exemple
Soit F l'espace vectoriel des applications linéaires de E dans K (autrement dit l'espace des formes linéaires).
L'application de 
dans K qui à 
associe 
est une forme bilinéaire.
Dans toute la suite on va supposer que 
.
Vocabulaire : Si 
, on parle de forme bilinéaire sur E.
Exemples :
Forme bilinéaire sur 
Soit 
. Soit a un élément de K et f l'application de 
dans K définie par :
.
C'est une forme bilinéaire sur K.
Réciproquement toutes les formes bilinéaires sur K sont de ce type. En effet, soit f une forme bilinéaire sur K.
Alors, pour tout 
de , 
(linéarité par rapport à la première variable).
Or 
(linéarité par rapport à la deuxième variable).
D'où : 
.
En posant 
qui est bien un scalaire, il vient 
.
Soit 
et f l'application de 
dans R définie pour tout 
de 
par
C'est une forme bilinéaire sur (vérification immédiate).
|
Définition : forme bilinéaire symétrique Soit E une espace vectoriel sur K.Une forme bilinéaire f sur E est dite symétrique si :
|
Exemples :
Forme bilinéaire symétrique sur
D'après l'exemple précédent, toute forme bilinéaire sur E est de la forme 
. Or il est immédiat que f vérifie 
. Donc toute forme bilinéaire sur K est symétrique.
Soit 
. L'application de 
dans K qui à 
associe 
est une forme bilinéaire symétrique.
Soit E l'espace vectoriel des fonctions continues de 
dans R. L'application 
de dans K définie par : 
est une forme bilinéaire symétrique sur E.
Soit f une forme bilinéaire quelconque sur E. Alors il est facile de vérifier que l'application de dans K définie par : 
est une forme bilinéaire symétrique.
Soit et f l'application de 
dans R définie pour tout de par
On a déjà vu au paragraphe précédent que c'est une forme bilinéaire sur . Ce n'est pas une forme bilinéaire symétrique sur . En effet soit 
. Alors 
et 
.
|
Définition : forme bilinéaire antisymétrique Soit E une espace vectoriel sur K. Une forme bilinéaire f sur E est dite antisymétrique si :
|
Il est facile de démontrer (cliquez pour voir les détails) que cette propriété est équivalente à
Exemples :
Soit . L'application de 
dans K qui à associe 
est une forme bilinéaire antisymétrique.
Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et 
une base de E. L'application de 
dans K définie par :
est une forme bilinéaire antisymétrique.
Reprenons l'exemple déjà étudié précèdemment.
Soit et f la forme bilinéaire sur définie pour tout de par
On a vu que ce n'est pas une forme bilinéaire symétrique. Ce n'est pas non plus une forme bilinéaire antisymétrique sur . En effet soit 
. Alors 
et 
.
Ce dernier exemple montre qu'il y a des formes bilinéaires qui ne sont ni symétriques ni antisymétriques. Il existe cependant un lien de structure fort entre ces différentes notions. Cela fait l'objet du paragraphe suivant.
Soit E un K-espace vectoriel. On note 
l'ensemble des formes bilinéaires sur E, 
l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E et 
l'ensemble des formes bilinéaires antisymétriques sur E. On a alors le théorème de structure suivant :
|
Théorème : Structure vectorielle de
|
Preuve :
Les propriétés 1) et 2) sont immédiates à démontrer.
Démonstration de la propriété 3)
Soit f une forme bilinéaire quelconque. Supposons qu'il existe une forme bilinéaire symétrique et une forme bilinéaire antisymétrique 
telles que 
; cela signifie :
,
d'où 
et donc 
Alors, à partir des relations 
et 
il vient :
Cela prouve l'unicité de l'écriture d'une forme bilinéaire comme somme d'un élément de et de si une telle écriture existe.
Pour montrer l'existence d'une telle décomposition, il suffit de vérifier que les applications
et
conviennent autrement dit que est une forme bilinéaire symétrique sur E, que est une forme bilinéaire antisymétrique sur E et que .
Toutes ces vérifications sont immédiates, d'où le résultat.
Remarque : bien observer qu'aucune hypothèse concernant la dimension de E n'est nécessaire pour démontrer cette propriété. |
Exemple :
Reprenons l'exemple déjà étudié avec et f la forme bilinéaire sur définie pour tout de par :
Alors en utilisant les résultats précédents il vient avec
et
Soit E un espace vectoriel de type fini, et n sa dimension. Soit 
une base de E et f une forme bilinéaire sur E.
Soient x et y deux éléments de E que l'on peut écrire de manière unique sous la forme 
et 
.
Alors 
.
En utilisant la bilinéarité de f, il vient :
Pour mieux comprendre la construction de cette formule, on peut détailler ce calcul pour 
. (Cliquez pour voir ce calcul)
La forme bilinéaire f est donc entièrement définie par les 
scalaires 
.
Réciproquement il est facile de vérifier que toute application de dans K de la forme 
est une forme bilinéaire (les notations sont celles indiquées ci-dessus).
Cela permet donc d'énoncer la caractérisation, très utile dans la pratique :
|
Proposition : Caractérisation d'une forme bilinéaire sur un espace de type fini Soit E un espace vectoriel de type fini, et n sa dimension. Soit Une application de
|
Cette propriété peut être interprétée différemment, de manière à obtenir une propriété globale de l'espace vectoriel .
Introduisons, pour tout couple 
avec 
, la forme bilinéaire 
définie par 
. Alors la formule qui vient d'être trouvée permet d'écrire :
Cela prouve que les formes bilinéaires engendrent .
Or il résulte de la définition des formes bilinéaires que :
Cela implique (calcul simple) que les formes bilinéaires sont linéairement indépendantes.
Ces résultats permettent d'énoncer le théorème :
|
Théorème : Dimension de Soit E un espace vectoriel de type fini, n sa dimension et B une base de E. L'espace vectoriel Plus précisément, les formes bilinéaires |
La forme bilinéaire f est donc entièrement déterminée par les scalaires 
. Cela nous conduit à la définition de la matrice associée à une forme bilinéaire dans une base (page suivante).
|
Théorème-définition : Matrice associée à une forme bilinéaire dans une base Soit E un espace vectoriel de type fini, n sa dimension et Soit f une forme bilinéaire sur E. La matrice associée à f dans la base B est la matrice à n lignes et n colonnes dont le terme de la Pour tout L'application de |
Remarque : bien observer la cohérence de l'ordre des indices sur la formule |
Attention : cet isomorphisme n'est pas canonique car il dépend de la base choisie sur E par l'intermédiaire des formes bilinéaires 
.
Exemple :
Reprenons encore l'exemple déjà étudié :
et f la forme bilinéaire sur définie pour tout de par :
On a déjà vu qu'elle n'est ni symétrique ni antisymétrique.
Il s'agit de déterminer la matrice associée à f dans la base canonique, soit A. L'élément de la première ligne première colonne de A est le coefficient de 
dans l'expression explicite de 
; il est donc égal à 1. De même l'élément de la première ligne deuxième colonne de A est le coefficient de 
, donc égal à 2. L'élément de la deuxième ligne première colonne de A est le coefficient de 
, donc égal à 
. Enfin, l'élément de la deuxième ligne deuxième colonne de A est le coefficient de 
, donc égal à 
.
 |  |
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La matrice associée à f dans la base canonique est donc 
.
L'introduction de la matrice associée à une forme bilinéaire permet d'écrire le scalaire comme un produit de matrices.
La convention suivante est utilisée : la matrice scalaire 
est identifiée au scalaire 
.
Soit E un espace vectoriel de type fini, n sa dimension, une base de E et f une forme bilinéaire sur E.
On a trouvé la formule :
Soit A la matrice associée à f dans la base . C'est donc la matrice de 
de terme général . Soient X et Y les matrices colonnes dont les éléments sont respectivement les coordonnées de x et y dans la base B : 
.
Alors, en notant 
, il vient : 
.
En notant 
, cela donne :
(en utilisant la convention d'identification indiquée ci-dessus).
La matrice ligne 
est égale à 
. Comment interpréter la matrice colonne 
?
Le scalaire peut être interprété comme le produit 
.
Donc 
et au bilan 
.
D'où le résultat.
|
Proposition : Expression matricielle d'une forme bilinéaire Soit E un espace vectoriel de type fini, n sa dimension, Si x et y sont des éléments quelconques de E, X et Y les matrices colonnes dont les éléments sont les coordonnées de x et y respectivement dans la base B, alors on a l'égalité :
|
Remarque : le calcul aurait peut-être paru plus simple si l'on avait démontré cette formule en « partant » de la droite autrement dit si l'on était parti du calcul du produit de matrices |
Changement de base
Bien évidemment la question qui se pose est celle de l'existence d'une formule liant les matrices associées à une forme bilinéaire dans deux bases différentes.
Soient 
et 
deux bases de E, P la matrice de passage de à .
Soient x et y deux éléments de E de matrices 
et 
dans et
respectivement. Les formules classiques de changement de base donnent les relations : 
.
Alors, si f est une forme bilinéaire sur E, on a
.
La formule trouvée prouve que 
est la matrice associée à f dans la base . On peut donc énoncer la formule de changement de base :
|
Proposition : formule de changement de base Soit E un espace vectoriel de type fini, n sa dimension,
|
Attention ! ne pas confondre avec la formule de similitude |
Cette partie est consacrée à l'étude des formes bilinéaires symétriques sur un espace de dimension finie et à la relation existant entre et l'espace vectoriel des matrices symétriques.
Soit E un espace vectoriel de type fini, et n sa dimension. Soit une base de E et f une forme bilinéaire symétrique sur E.
Si et sont deux éléments de E, on a vu que 
et que la matrice associée à f dans la base B est la matrice de terme général 
.
Or, f est symétrique si et seulement si
propriété qui équivaut à : 
.
D'où la proposition.
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Proposition : caractérisation de la matrice associée dans une base à une forme bilinéaire symétrique Soit E un espace de type fini.
|
Exemple :
Soit et f la forme bilinéaire symétrique (vérification immédiate) définie pour tout de par
| |
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Alors la matrice associée à f dans la base canonique 
de est une matrice de type 
à coefficients réels égale à : 
.
Soit 
et f la forme bilinéaire symétrique (vérification immédiate) définie pour tout 
de 
par
Alors la matrice associée à f dans la base canonique de est la matrice unité 
.
Problème réciproque :
Soit E un espace vectoriel de type fini, n sa dimension et une base de E. Il est clair que la donnée d'une matrice symétrique 
à coefficients dans K permet de construire une forme bilinéaire symétrique f sur E. Il suffit de définir, pour tout i et j compris entre 1 et n, par 
. Elle est bien symétrique puisque pour tout i et j compris entre 1 et n, 
.
Cela nous conduit au théorème suivant
|
Théorème : isomorphisme entre Soit E un K-espace vectoriel de type fini, n sa dimension. Alors l'espace vectoriel |
Preuve :
Ce qui précède prouve l'existence d'une bijection entre ces deux espaces. Il est simple de vérifier que c'est bien une application linéaire.
Attention, cet isomorphisme n'est pas canonique puisqu'il dépend de la base choisie sur E.
Construction de formes bilinéaires symétriques
On a même un résultat plus fort puisque cela donne un procédé de construction de forme bilinéaire symétrique à partir d'une matrice symétrique.
Soit une matrice symétrique à coefficients dans K.
On peut construire un espace vectoriel E, une base de E et une forme bilinéaire symétrique f telle que A soit la matrice associée à f dans .
Pour cela on prend 
, la base canonique de 
et on définit f par .
Exemple :
Soit la matrice 
. C'est une matrice symétrique.
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Alors l'application f de 
dans R définie pour tout 
et tout 
par 
est une forme bilinéaire symétrique sur 
admettant A comme matrice associée dans la base canonique.
En appliquant le résultat général vu pour les formes bilinéaires au cas des formes bilinéaires symétriques, et en utilisant toujours la même convention (la matrice scalaire est identifiée au scalaire ), il vient :
avec A symétrique.
où 
, et
Remarque : Comme
Cela pouvait aussi être justifié en utilisant la symétrie de f. |
Changement de base
La formule de changement de base, vue pour une forme bilinéaire quelconque, est évidemment encore valable si la forme est symétrique.
On peut d'ailleurs observer directement que si A est une matrice symétrique, la matrice est aussi symétrique.
Dans cette partie est introduite une nouvelle notion celle de forme quadratique. Elle est tout d'abord étudiée dans le cas d'espace vectoriel quelconque puis dans celui d'un espace de type fini.
|
Définition : « Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique ». Soit E un espace vectoriel sur K ( La « forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique f » est l'application
|
Remarque : dans cette définition, l'expression « Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique » est considérée comme un seul mot. |
Exemples : reprenons les exemples de formes bilinéaires symétriques
Soit , a un élément de K et f la forme bilinéaire symétrique sur K définie par
Alors
Soit et h la forme bilinéaire symétrique sur 
dans K définie par
Alors
Soit E l'espace vectoriel des fonctions continues de dans R et la forme bilinéaire symétrique sur E définie par :
Alors 
est l'application de E dans R définie par :
.
|
Proposition : Quelques propriétés immédiates Soit E un espace vectoriel sur K (
|
Preuve : Les démonstrations sont simples
Soit x un élément quelconque de E et 
un scalaire quelconque. Alors 
.
Soit appartenant à . Alors en utilisant la bilinéarité de f il vient :
Comme f est symétrique cela donne
D'où le résultat.
Ces propriétés sont des conditions nécessaires pour qu'une application q de E dans K soit la forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique f donnée.
En fait, on va définir la notion de forme quadratique « tout court » naturellement à partir de la définition précédente et montrer que les conditions nécessaires ci-dessus sont aussi des conditions suffisantes.
|
Définition d'une forme quadratique Une application q de E dans K est une forme quadratique sur E si il existe une forme bilinéaire symétrique f sur E telle que, pour tout x de E, |
Evidemment c'est une définition très simple mais qui n'est pas très commode dans la pratique, même si parfois l'expression de f saute aux yeux.
Le théorème suivant permet d'avoir une caractérisation des formes quadratiques plus utilisable.
|
Théorème : caractérisation des formes quadratiques Une application Q de E dans K est une forme quadratique sur E si et seulement si les deux propriétés suivantes sont satisfaites :
Si ces conditions sont satisfaites, Q est la forme quadratique associée à f et la forme bilinéaire symétrique f est souvent appelée forme polaire associée à Q. |
Il est clair que si les propriétés i) et ii) sont satisfaites, on a :
et donc Q est la forme quadratique associée à f.
Remarque : Pour démontrer qu'une application q d'un espace vectoriel quelconque (c'est-à-dire non nécessairement de type fini) dans son corps de base est une forme quadratique, on a à priori deux méthodes : « deviner » une forme bilinéaire symétrique f telle que Cependant, la propriété i) est souvent utilisée pour démontrer qu'une application q n'est pas une forme quadratique. |
Commentaire sur le choix fait pour la définition d'une forme quadratique Nous avons fait le choix de définir les formes quadratiques à partir des formes bilinéaires symétriques. On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application q de E dans K est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) Il nous est apparu inutile d'introduire cette étape supplémentaire qui n'a aucun rôle dans la suite de l'étude. |
Dans le cas d'une forme quadratique sur un espace de type fini on a une caractérisation beaucoup plus simple qui est utilisée systématiquement. C'est l'objet du paragraphe suivant.
Soit E un espace vectoriel de type fini, n sa dimension, une base de E et f une forme bilinéaire symétrique sur E. Soit A la matrice associée à f dans la base B. C'est une matrice symétrique.
Si sont des éléments quelconques de E, et si X et Y sont les matrices colonnes dont les éléments sont les coordonnées de x et y respectivement dans la base B, alors . Il s'en déduit immédiatement que :
.
Si l'on développe ce produit matriciel, il vient
Introduisons la définition suivante :
|
Définition : expression polynomiale homogène de degré 2 Soit t une application de E dans K pour laquelle il existe
On dit que |
Il résulte de la formule que 
est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de x dans la base B de E.
Réciproquement si l'on a une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de x dans la base B de E, c'est une forme quadratique sur E.
En effet, soit q une application de E dans K pour laquelle il existe éléments de K, 
tels que q soit l'application définie par :
On peut écrire autrement cette expression en mettant en évidence les termes « carrés » c'est à dire de la forme 
et les termes « rectangles » c'est-à-dire de la forme 
avec 
. Le coefficient du terme est 
; celui du terme est , enfin celui du terme 
est 
. Bien évidemment on peut regrouper ces deux derniers termes, ce qui permet d'écrire :
Soient les scalaires 
définis pour tout couple appartenant à 
par 
.
Ils vérifient en particulier les relations
Alors, il vient que
Deux façons de terminer la démonstration.
Méthode matricielle.
Cette formule peut être écrite matriciellement sous la forme :
où A est la matrice de terme général .
La démonstration est du même type que celle faite pour trouver l'expression matricielle d'une forme bilinéaire symétrique. Cliquez pour voir les détails.
Alors si f est la forme bilinéaire symétrique sur E dont la matrice associée dans la base B est égale à A, q est la forme quadratique associée à f.
Vocabulaire :
On dit indifféremment que A est la matrice associée à f ou la matrice associée à q dans la base B.
Méthode utilisant la caractérisation d'une forme quadratique.
Il suffit de vérifier à partir de l'expression 
(les calculs à faire sont simples) que l'application q vérifie les deux conditions :
L'application f définie par 
est bilinéaire symétrique.
D'où la propriété suivante :
|
Proposition : Caractérisation d'une forme quadratique sur un espace de type fini. Soit E un espace vectoriel de type fini. |
Dans la pratique, lorsque E est un espace de type fini, cela donne un procédé extrêmement commode pour reconnaître si une application de E dans K est une forme quadratique.
Ces résultats permettent d'énoncer le théorème fondamental suivant, valable dans un espace vectoriel quelconque.
|
Théorème : Isomorphisme entre Soit E un espace vectoriel sur K. Soient
|
Cas d'un espace de type fini
Soit E un espace de dimension n et 
une base de E. On a vu que si q est une forme quadratique, il existe des scalaires 
tels que pour tout i et j compris entre 1 et n, 
et tels que :
Notons 
et 
les formes quadratiques 
et 
. La propriété équivaut à :
la propriété prouve que les formes et forment une famille génératrice de 
. Il est immédiat de vérifier qu'elles sont linéairement indépendantes. Elles définissent donc une base de . Cela prouve que est de type fini.
La base trouvée est extrêmement utile pour déterminer simplement la forme polaire associée à une forme quadratique donnée (dans l'autre sens si on connaît la forme bilinéaire symétrique, trouver la forme quadratique associée est immédiat, il suffit d'écrire 
).
En effet, à cause de l'isomorphisme indiqué dans le théorème, si f est la forme polaire associée à q, 
celle associée à 
et si , 
celle associée à , il vient :
et les formes bilinéaires symétriques et définissent une base de . Il ne reste donc qu'à les déterminer.
En utilisant la définition, il vient 
et 
.
D'où la proposition :
|
Proposition : base de Soit E un espace de dimension n,
et
Ces formes bilinéaires symétriques |
Ce qui donne le corollaire pratique suivant :
|
Corollaire : Expression explicite de la forme polaire d'une forme quadratique Soit E un espace de dimension n et
|
Ce résultat est constamment utilisé dans la pratique.
Exemple : Soit 
.
Soit q l'application de E dans R définie pour tout 
par 
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Voir une version animée de ces étapes |
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Comme 
est une expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées 
de x dans la base canonique, c'est une forme quadratique et sa forme polaire est définie pour tout et 
de 
par 
.
La matrice associée à f (ou à q) dans la base canonique de est :
.
La connaissance d'une base explicite permet de déterminer la dimension de et de .
|
Proposition : dimension de Soit E un espace de dimension n. Alors
|
Preuve de la formule :
Pour trouver la dimension de l'espace vectoriel des formes quadratiques il suffit de compter les éléments de la base trouvée donc le nombre de formes où i est un entier compris entre 1 et n et de formes avec 
. Il y a exactement n formes et 
(autant que de façons de prendre deux éléments distincts i et j parmi n éléments) formes . Comme 
, on a 
.
tels que pour tout 
, 
est une expression polynomiale homogène de degré 1 par rapport aux coordonnées de x sur la base B.
est une forme linéaire sur F, c'est-à-dire une application linéaire de F dans K.
est une forme linéaire sur E, c'est-à-dire une application linéaire de E dans K.
, tels que pour tout 
sont les coordonnées respectivement de x et y dans B déterminent une base de 
.
élément de 
.
est un isomorphisme.
.
. Mais cela supposait de connaître à l'avance la formule, alors que dans la démonstration proposée, on construit la formule.
les matrices associées à f dans les bases 
qui lie les matrices associées à un endomorphisme par rapport à deux bases différentes.
et 
, elle est égale à sa transposée et donc 
. Mais comme A est symétrique, 
et par conséquent on a aussi la formule :
de E dans K qui à tout x de E associe 
, c'est-à-dire :
. Immédiatement cette définition est suivie de la propriété : Soit q une forme quadratique sur E. Il existe une unique forme bilinéaire symétrique f telle que pour tout x de E, on ait 
avec 
est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux 
est un isomorphisme entre 
définissent une base de 
, et tout 
:
