Démonstration de l'équivalence

Il s'agit donc de démontrer que, si f est une forme bilinéaire, les propriétés suivantes sont équivalentes :

 :

Soit x un élément quelconque de E. En appliquant (i) au couple on obtient .

Comme le corps de base est R ou C, cela entraîne .

Soient x et y deux éléments de E. Considérons .

D'une part en utilisant la propriété (ii), on obtient .

D'autre part, en utilisant l'hypothèse f bilinéaire on peut développer et on obtient :

 .

Or en utilisant (ii) il vient .

Donc ces calculs conduisent à l'égalité : .

D'où le résultat.