Démonstration de la formule (**)

Soit A la matrice de de terme général . Soit X la matrice colonne dont les éléments sont les coordonnées de x dans la base , .

Alors, il vient : .

En notant , cela donne

La matrice ligne est égale à .

Le scalaire peut être interprété comme le produit .

Donc et au bilan (avec bien sûr la convention d'identifier un matrice à un scalaire) où A est une matrice symétrique.