Forme bilinéaire, forme quadratique sur R ou C
Formes quadratiques sur Rⁿ

Il s'agit ici d'une ressource simple sur le sujet, destinée à un contexte où l'accent est mis sur les formes quadratiques et non pas sur les formes bilinéaires symétriques même si le vocabulaire et les liaisons existant entre ces deux notions sont données en fin de ressource. Le lien entre forme quadratique et matrice symétrique est essentiel dans cette ressource.

L'espace vectoriel considéré est Rⁿ.

Prérequis indispensables  :

• Le vocabulaire de base de l'algèbre linéaire et la notion d'espace de type fini (ou dimension finie).

• Le calcul matriciel et les formules de changement de base.

Objectifs  :

• Reconnaître une forme quadratique sur Rⁿ.

• Savoir écrire la matrice associée à une forme quadratique dans une base.

• Savoir écrire la forme polaire d'une forme quadratique.

Temps de travail prévu  :  60 minutes

Sommaire :

Il s'agit ici d'une ressource simple sur le sujet, destinée à un contexte où le l'accent est mis sur les formes quadratiques et non pas sur les formes bilinéaires symétriques, même si cette notion est introduite dans la dernière partie de cette ressource.

L'espace vectoriel considéré est où n est un entier strictement positif. C'est un espace vectoriel sur R de dimension n. La base canonique joue au départ un rôle essentiel.

Les résultats qui vont être démontrés peuvent être prouvés de la même façon pour un espace vectoriel de dimension n.

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L'espace vectoriel considéré est l'espace vectoriel , espace vectoriel de dimension n.

Un élément x de s'écrit soit encore où est la base canonique.

Définition : forme quadratique sur On appelle forme quadratique sur une application q de dans R pour laquelle il existe éléments de R, tels que :

L'application q est caractérisée par les réels .

La définition suivante fixe le vocabulaire.

Définition : une expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux . Une expression de la forme est appelée expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux réels .

Par conséquent une forme quadratique sur est une application q de dans R telle que si , est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux .

Exemple :

La propriété suivante justifie le vocabulaire et prouve qu'une forme quadratique non nulle n'est pas une application linéaire.

Proposition : Soit q une forme quadratique sur . Soit x un élément quelconque de E et un scalaire quelconque. Alors :

Preuve :

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Soit q une forme quadratique sur . Il existe donc éléments de R, tels que

On peut réordonner les termes de cette expression en mettant en évidence les termes « carrés » c'est-à-dire de la forme et les termes « rectangles » c'est-à-dire de la forme avec . Le coefficient du terme est  ; celui du terme est , et celui de est . Bien évidemment ces deux derniers termes peuvent être regroupés ce qui permet d'écrire :

On introduit les scalaires définis pour tout couple appartenant à par :

 .

Ils vérifient en particulier les relations :

Alors :

Sur l'exemple on a .

Dans toute la suite c'est cette expression d'une forme quadratique qui sera utilisée, à cause de la symétrie des coefficients c'est-à-dire de la propriété : .

Il résulte de tout ce qui précède qu'une forme quadratique est entièrement caractérisée par les coefficients , et donc par la matrice carrée d'ordre n dont le terme général est . On peut donc énoncer la définition suivante :

Théorème-Définition : Matrice symétrique associée à une forme quadratique par rapport à une base Soit q une forme quadratique sur définie pour tout de par : , On définit pour les couples tels que , les scalaires par : Alors la matrice A de terme général est une matrice symétrique, c'est-à-dire : On dit que c'est la matrice associée à q par rapport à la base canonique de .

L'introduction ici de la base canonique de est due au double rôle tenu par les réels pour un n-uplet .

D'une part ce sont les composantes de x, et d'autre part ce sont les coordonnées de x dans la base canonique puisque :

Exemple :

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La réciproque est immédiate et on peut énoncer :

Théorème : Forme quadratique associée à une matrice symétrique Soit une matrice symétrique de terme général . Alors l'application de dans R définie pour tout par est une forme quadratique sur dont la matrice associée dans la base canonique de est la matrice A.

Cela conduit au théorème suivant :

Théorème : isomorphisme entre et L'ensemble des formes quadratiques sur a une structure d'espace vectoriel pour les opérations : Soit l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre n. Soit l'application de dans qui, à une forme quadratique q fait correspondre sa matrice dans la base canonique. Cette application vérifie les propriétés suivantes : C'est une bijection. L'application vérifie les deux propriétés : L'espace vectoriel est donc isomorphe à l'espace vectoriel des matrices carrées symétriques d'ordre n à coefficients dans R.

Démonstration :

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Soit la base canonique de . Soit un élément de qui peut être écrit sur la base  :

Soit q la forme quadratique définie par :

Comme précédemment, on définit les scalaires pour les couples tels que , par :

Alors, peut être écrit sous la forme :

Soit A la matrice de de terme général . C'est la matrice associée à q dans la base canonique.

Soit et .

Alors, il vient : .

En notant , cela donne .

La matrice ligne est égale à .

Le scalaire peut être interprété comme le produit . Donc on a : et au bilan (bien sûr avec la convention d'identifier un matrice à un scalaire).

D'où la proposition :

Proposition : Ecriture matricielle de où q est une forme quadratique Soit q la forme quadratique sur définie par : . Si A est la matrice de de terme général , oł les scalaires pour les couples tels que , et X la matrice colonne , alors .

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La question qui se pose immédiatement est la suivante :

que se passe-t-il si au lieu de considérer la base canonique sur , on considère une autre base de  ?

Soient donc la base canonique de , une autre base de et P la matrice de passage de à .

On peut écrire x sous la forme , et considérer la matrice colonne .

Les formules de changement de base donnent la relation  ; cela donne , donc une expression de la forme avec .

Si l'on développe ce produit de matrices, il est simple de voir que le résultat obtenu est :

où les sont les coefficients de la matrice .

De plus puisque A est symétrique. Donc la matrice est symétrique.

On en déduit deux résultats :

Proposition : Soit q une forme quadratique sur . Alors, quelque soit la base de , est une expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux composantes de x sur cette base.

Cela permet aussi de définir la notion de matrice associée à une forme quadratique sur par rapport à n'importe quelle base de .

Proposition : matrice associée à une forme quadratique dans une base quelconque et formule de changement de base Si est une autre base de et si P est la matrice de passage de la base canonique à , en écrivant x sous la forme , il vient :      avec    . La matrice est une matrice symétrique. On dit que est la matrice associée à q dans la base .

Remarque : Au départ la définition d'une forme quadratique sur fait jouer un rôle particulier à la base canonique. Mais le résultat qui vient d'être trouvé prouve qu'en fait la définition de forme quadratique qui a été donnée est intrinsèque, et qu'elle ne dépend pas de la base choisie. C'est pourquoi tout ce qui vient d'être fait peut être généralisé à une espace vectoriel de type fini quelconque sur le corps des nombres réels ou sur le corps des nombres complexes.

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Définition : forme bilinéaire symétrique sur Une forme bilinéaire sur f est une application de dans R, linéaire par rapport à chacune des variables autrement dit : pour x fixé dans l'application est une application linéaire de dans R. pour y fixé dans , l'application est une application linéaire de dans R. Une forme bilinéaire est dite symétrique si :

Exemples :

1. . Soit f l'application de dans R définie par .

   C'est une forme bilinéaire symétrique.

   On peut remarquer que c'est le « produit scalaire euclidien » usuel utilisé dans la géométrie classique du plan.

2. . Soit f l'application de dans R définie par .

   C'est une forme bilinéaire symétrique.

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Soit la base canonique de .

Soit f une forme bilinéaire symétrique sur , x et y deux éléments de . On peut écrire et .

Alors :

et donc :

Pour aider à comprendre la construction de cette formule, on peut détailler ce calcul pour . Cliquez ici pour voir ce calcul.

La forme bilinéaire symétrique f est donc entièrement définie par les scalaires . Comme f est symétrique, il est immédiat que :

Réciproquement il est facile de vérifier que toute application de dans R de la forme est une forme bilinéaire (les notations sont celles indiquées ci-dessus).

Cela permet donc d'énoncer la caractérisation, très utile dans la pratique :

Proposition : Caractérisation d'une forme bilinéaire sur Une application de dans R est une forme bilinéaire sur si et seulement si il existe des scalaires , tels que pour tout et s'écrive de la manière suivante :

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A partir d'une forme quadratique (ou d'une matrice symétrique) il est possible de construire une forme bilinéaire symétrique.

Théorème : forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique ou à une matrice symétrique Soit E l'espace vectoriel et la base canonique de E. Soit une matrice symétrique d'ordre n à coefficients dans R et q la forme quadratique sur dont la matrice associée dans la base B est égale à A. Donc q est définie par : Alors : L'application de dans R définie pour tout et par : est une forme bilinéaire symétrique sur telle que : On dit que c'est la forme bilinéaire symétrique associée à q ou forme polaire de q. On dit aussi que q est la forme quadratique associée à f. De plus on a : La matrice symétrique d'ordre n à coefficients dans E, est telle que : Elle est appelée matrice associée à f par rapport à la base B. On dit indifféremment matrice associée à f ou à q dans la base B.

Preuve :

On a alors l'expression matricielle :

Proposition Les hypothèses et notations étant les mêmes que dans le théorème précédent, si x et y sont des éléments quelconques de , X et Y les matrices colonnes dont les éléments sont les coordonnées de x et y respectivement dans la base canonique on a :  .

La preuve de cette propriété résulte de la propriété et de la formule . Alors :

or, d'une part les matrices et sont des matrices à une ligne une colonne donc égales à leur transposée, et d'autre part la matrice A est symétrique. Donc : et par conséquent .

Exemple : géométrie euclidienne classique

Une relation globale entre forme quadratique et forme bilinéaire symétrique est précisée dans le théorème suivant.

Théorème : Isomorphisme entre et Soient l'espace vectoriel des formes quadratiques sur et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur . L'ensemble a une structure d'espace vectoriel pour les opérations : L'application T qui à q appartenant à associe la forme bilinéaire symétrique définie par : vérifient les propriétés suivantes : C'est une bijection. L'application réciproque de T est l'application qui à une forme bilinéaire symétrique f associe la forme quadratique définie par : L'application T est linéaire c'est-à-dire vérifie les deux propriétés : C'est donc un isomorphisme entre et .

Les vérifications sont immédiates.

   Conséquence pratique :

Cela donne un procédé pratique pour déterminer explicitement la forme polaire d'une forme quadratique définie par :

Notons et les formes quadratiques et . La propriété équivaut à :

la propriété prouve que les formes et forment une famille génératrice de . Il est immédiat de vérifier qu'elles sont linéairement indépendantes. Elles définissent donc une base de .

Cette base est extrêmement utile pour déterminer simplement la forme polaire associée à une forme quadratique donnée (dans l'autre sens si on connaît la forme bilinéaire symétrique, trouver la forme quadratique associée est immédiat, il suffit d'écrire ).

En effet, à cause de l'isomorphisme indiqué dans le théorème, si f est la forme polaire associée à q, celle associée à et si , celle associée à , il vient :

et les formes bilinéaires symétriques et définissent une base de . Il ne reste donc qu'à les déterminer.

En utilisant la définition, il vient :

  et

D'où la proposition :

Proposition : base de et de   Les éléments de sont notés . Alors les formes quadratiques et définies par et définissent une base de . Leurs images par l'isomorphisme entre et sont les formes bilinéaires symétriques et , définies par : et Ces formes bilinéaires symétriques et définissent une base de .

Ce qui donne le corollaire pratique suivant :

Corollaire : Expression explicite de la forme polaire d'une forme quadratique Si q est une forme quadratique sur et f la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée (on dit aussi forme polaire de q), il existe des scalaires tels que pour tout , et tout  :

Ce résultat est constamment utilisé dans la pratique.

Exemple :

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