Définition. Soit f une fonction
réelle, localement intégrable sur un intervalle 
,
avec 
ou 
.
On dit que l’intégrale 
est absolument convergente si l’intégrale 
est convergente.
Définition. Soit f une fonction
réelle, localement intégrable sur un intervalle |
| Théorème. Une intégrale absolument convergente est convergente. |
Preuve
On utilise deux fois la condition de Cauchy, une première sous forme de condition nécessaire, une deuxième sous forme de condition suffisante.
L’importance de ce dernier théorème est très grande.
Il existe des intégrales qui sont convergentes sans être absolument
convergentes, mais les outils permettant de les étudier sont rares et
très ciblés : la règle d’Abel est d’un emploi
très limité. Aussi, pour étudier la nature d’une
intégrale impropre 
,
on commencera toujours par étudier l’intégrale 
,
d’où l’importance de l’intégrale des fonctions
positives.
Remarque
Il existe des intégrales convergentes qui ne sont pas absolument convergentes : exemple